Valeria Banica est Professeur au LJLL, Sorbonne Université.
Titre : Solutions turbulentes du flot binormal et l'équation 1D cubique de Schrödinger
Résumé : Au cours des trois dernières décennies, l'exploration des phénomènes turbulents des équations dispersives a fait l'objet d'une activité intense, comme par exemple la croissance des normes de Sobolev depuis les travaux de Bourgain dans les années 90. En général, l'équation de Schrödinger cubique 1D a été laissée de côté en raison de son intégrabilité complète. Dans une série d'articles des six dernières années en collaboration avec Luis Vega, nous avons considéré, en même temps que l'équation de Schrödinger cubique 1D, le flot binormal, qui est un flot géométrique qui lui est explicitement lié. Par ailleurs, le flot binormal est un modèle classique pour la dynamique d'un filament tourbillonnaire dans un fluide 3D ou un superfluide, et les mouvements tourbillonnaires sont un élément clé de la turbulence. Nous avons démontré rigoureusement un large éventail de comportements complexes tels que la création de singularités et la continuation unique, la croissance de Fourier, les effets de Talbot, l'intermittence et la multifractalité, justifiant en particulier certaines observations numériques antérieures. Pour ce faire, nous avons construit une classe de bonnes poses pour l'équation de Schrödinger cubique 1D incluse dans l'espace critique de Fourier-Lebesgue et dans des espaces de Sobolev supercritiques par rapport à la mise à l'échelle. Dans cet exposé je vais passer en revue ces résultats après avoir présenté les équations du flot binormal et l'équation de Schrödinger cubique 1D.