Nathaël Gozlan est Professeur au MAP5, Université Paris Cité.
Titre : De l’inégalité de Brunn-Minkowski à la régularité globale du transport optimal
Résumé : Après avoir rappelé l’inégalité de Brunn-Minkowski et sa forme fonctionnelle due à Prekopa et Leindler ainsi que quelques unes de leurs applications, on présentera une méthode générale permettant de démontrer des estimées de régularité globale pour l’application de transport de Brenier entre deux mesures de probabilité. Cette méthode, basée sur la régularisation entropique du transport optimal et sur l’inégalité de Prekopa-Leindler, généralise des approches précédentes de Fathi-Gozlan-Prod’homme et de Chewi-Pooladian. Elle permet de retrouver un résultat de régularité classique de Caffarelli, montrant que l’application de Brenier entre la mesure gaussienne standard et une perturbation log-concave de celle-ci est 1-Lipschitz. Elle permet aussi de retrouver et parfois d’améliorer plusieurs autres variantes du théorème de Caffarelli, dues à Kolesnikov (régularité Hölder), Chewi-Pooladian (version anisotrope), ainsi qu’un résultat récent de De Philippis et Shenfeld portant sur la divergence de l’application de Brenier.
Travail en collaboration avec Maxime Sylvestre.