Igor Honoré est postdoctorant à l'Inria Sophia Antipolis. Il est invité à parler au séminaire du laboratoire MICS coencadré par la Fédération de Mathématiques de CentraleSupélec.

Titre : Régularisation par le bruit dans les espaces Hölder et Besov.

Résumé : Dans un cadre non-Lipschitzien, le théorème de Cauchy-Peano n'assure pas l'unicité d'une solution régulière à une Équation Différentielle Ordinaire. Nous nous intéressons à l'impact d'un bruit auto-similaire additif dans ce type d'EDO. Plus précisément, nous étudions la régularisation de la solution de l'Équation Différentielle Stochastique et la restauration de l'unicité par la présence d'un bruit. A l'aide d'une heuristique fondée sur l'exemple de Peano, nous voyons apparaître des seuils de régularité pour les coefficients. Avec P.-E. Chaudru de Raynal et S. Menozzi, nous avons développé une méthode de type perturbative dépendant fortement des propriétés de dualité des espaces Besov. Celle-ci permet d'obtenir des estimées de Schauder pour un système parabolique dégénéré à coefficients Hölder et de considérer des EDP/EDS associés à des \(\alpha\)-stables. Dans le cas non-dégénéré, l'heuristique précédente nous suggère que la dérive de l'EDS doit être au moins "-1 Hölder". Considérer une dérive qui soit une distribution de l'espace Besov \(\dot B_{\infty,\infty}^{-1+\gamma}\), \(\gamma \in (0,1)\) reste encore un problème ouvert. En guise d'application, nous utilisons l'équation de Kolmogorov via la transformation de Zvonkin Veretennikov pour montrer l’unicité forte d'un système stochastique dégénéré à coefficients Hölder.

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