Thomas Duquesne est professeur à Sorbonne université.
Titre : Limite d'échelle des marches branchantes à valeurs dans les arbres
Résumé : Nous considérons une marche aléatoire branchante à valeurs dans l'arbre raciné \(b\)-aire \(\mathbb{W}_{\mathrm{b}}\) (c'est-à-dire l'ensemble des mots finis écrits dans l'alphabet \(\{1, \ldots, b\}\), avec \(b \geq 2\) ). La marche aléatoire branchante est indexée par un arbre enraciné ordonné uniforme à n sommets. Les sauts de la marche aléatoire branchante sont ceux d'une marche aléatoire récurrente nulle de plus proche voisin sur \(\mathbb{W}_{\mathrm{b}}\) (réflexion à la racine de \(\mathbb{W}_{\mathrm{b}}\) et sinon : probabilité \(1 / 2\) de se rapprocher de la racine de \(\mathbb{W}_{\mathrm{b}}\) et probabilité \(1 /(2 b)\) de s'en éloigner vers l'un des \(b\) nœuds voisins situés au dessus). Nous notons par \(\mathcal{R}_{\mathrm{b}}(n)\) l'ensemble des sites de \(\mathbb{W}_{\mathrm{b}}\) visités par la marche aléatoire branchante. Nous prouvons d'abord une loi des grands nombres pour \(\# \mathcal{R}_{\mathrm{b}}(n)\) et nous prouvons également que si nous munissons \(\mathcal{R}_{\mathrm{b}}(n)\) (qui est un sous-arbre aléatoire de \(\left.\mathbb{W}_{\mathrm{b}}\right)\) de sa distance de graphe \(d_{\mathrm{gr}}\), alors l'espace métrique \(\left(\mathcal{R}_{\mathrm{b}}(n), n^{-1 / 4} d_{\mathrm{gr}}\right)\), muni de sa mesure empirique normalisée converge vers le cactus brownien réfléchi, une variante du cactus brownien introduite par N. Curien, J-F. Le Gall et G. Miermont. Le Gall et G. Miermont (Ann. IHP 2013). Sous des hypothèses spécifiques, ce résultat s'étend aux cas d'un environnement aléatoire où \(\mathbb{W}_{\mathrm{b}}\) est remplacé par un arbre de Galton-Watson sur-critique.
Il s'agit d'un travail conjoint avec Robin KHANFIR (Sorbonne université), Shen LIN (Sorbonne université) et Niccolo TORRI (Nanterre université).