Thomas Duquesne est professeur à Sorbonne université.
Titre : Limite d'échelle des marches branchantes à valeurs dans les arbres
Résumé : Nous considérons une marche aléatoire branchante à valeurs dans l'arbre raciné $b$-aire $\mathbb{W}{\mathrm{b}}$ (c'est-à-dire l'ensemble des mots finis écrits dans l'alphabet ${1, \ldots, b}$, avec $b \geq 2$ ). La marche aléatoire branchante est indexée par un arbre enraciné ordonné uniforme à n sommets. Les sauts de la marche aléatoire branchante sont ceux d'une marche aléatoire récurrente nulle de plus proche voisin sur $\mathbb{W}}$ (réflexion à la racine de $\mathbb{W}{\mathrm{b}}$ et sinon : probabilité $1 / 2$ de se rapprocher de la racine de $\mathbb{W}}$ et probabilité $1 /(2 b)$ de s'en éloigner vers l'un des $b$ nœuds voisins situés au dessus). Nous notons par $\mathcal{R}{\mathrm{b}}(n)$ l'ensemble des sites de $\mathbb{W}}$ visités par la marche aléatoire branchante. Nous prouvons d'abord une loi des grands nombres pour $# \mathcal{R}{\mathrm{b}}(n)$ et nous prouvons également que si nous munissons $\mathcal{R}}(n)$ (qui est un sous-arbre aléatoire de $\left.\mathbb{W}{\mathrm{b}}\right)$ de sa distance de graphe $d}$, alors l'espace métrique $\left(\mathcal{R}{\mathrm{b}}(n), n^{-1 / 4} d}\right)$, muni de sa mesure empirique normalisée converge vers le cactus brownien réfléchi, une variante du cactus brownien introduite par N. Curien, J-F. Le Gall et G. Miermont. Le Gall et G. Miermont (Ann. IHP 2013). Sous des hypothèses spécifiques, ce résultat s'étend aux cas d'un environnement aléatoire où $\mathbb{W}_{\mathrm{b}}$ est remplacé par un arbre de Galton-Watson sur-critique.
Il s'agit d'un travail conjoint avec Robin KHANFIR (Sorbonne université), Shen LIN (Sorbonne université) et Niccolo TORRI (Nanterre université).