Arnaud Durand est maître de conférences au LMO.
Titre : Analyse multifractale des processus additifs
Résumé : Les processus additifs sont des processus stochastiques à accroissements indépendants, dont les processus de Lévy, qui ont de plus des accroissements stationnaires, fournissent une classe importante d’exemples. On s’intéresse à la régularité des trajectoires de tels processus au travers de leur exposant de Hölder ponctuel. Pour donner une description plus globale de la régularité, on cherche à déterminer la dimension de Hausdorff de chaque ensemble où l’exposant de Hölder prend une valeur donnée. Une telle étude, appelée analyse multifractale du processus, a été faite dans deux cas particuliers : les processus de Lévy, par S. Jaffard ; les processus de Lévy en temps multifractal, par J. Barral et S. Seuret. On s’intéressera dans cet exposé au cas général des processus additifs. On expliquera en particulier comment l’exposant de Hölder ponctuel peut être relié à des propriétés de recouvrement de la droite réelle par des intervalles aléatoires. Cela permet d’obtenir la dimension de Hausdorff de l’ensemble des points prenant une certaine valeur de l’exposant de Hölder, mais aussi d’établir des propriétés plus qualitatives dites de grande intersection. On évoquera aussi des extensions au cas de plusieurs variables (champs de Lévy), et à l’analyse multifractale conjointe des processus additifs avec d’autres processus ou fonctions.